用方程思想解決“牛吃草”問題的通用方法

"牛吃草"問題是小學數(shù)學中的一個專題，也是小升初考試中常常涉及的題型。目前小學教材中對此類問題的通用解法是用算術(shù)方法逐步分析求解。由于 變量較多，同學們常常分不清數(shù)字之間的關(guān)系而得出錯誤的結(jié)果。本人利用數(shù)學中方程思想對此類題目進行分析，并在此基礎(chǔ)上提出解決此類問題的通用方法。

一、問題提出

有這樣的問題，如：牧場上有一片均勻生長的牧草，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么它可供21頭牛吃幾周？這類問題統(tǒng)稱為"牛吃草"問題，它們的共同特點是由于每個單位時間草的數(shù)量在發(fā)生變化，從而導(dǎo)致時間不同，草的總量也不相同。

目前小學奧數(shù)輔導(dǎo)教材中對此類問題的通用解法是用算術(shù)方法求出每個單位時間草的變化量等于多少頭牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少頭牛的吃 草量，從而得出答案。這種方法在數(shù)量之間的關(guān)系換算上較麻煩，一旦題目增加難度，或與工程問題結(jié)合，轉(zhuǎn)成進水排水問題，常常使人找不到解題的正確思路。

如 果用方程思想求解此類問題，思路可以清晰，步驟也可以明確，并形成一個通用的方法。

二、方程解題方法

用方程思路解決"牛吃草"問題的步驟可以概括為三步：

1、 設(shè)定原有草的總量和單位時間草的變化量，一般設(shè)原有總量為1，單位時間變化量為X；

2、 列出表格，分別表示牛的數(shù)量、時間總量、草的總量（原有總量+一定時間內(nèi)變化的量）、每頭牛單位時間吃草數(shù)量

3、 根據(jù)每頭牛單位時間吃草數(shù)量保持不變這一關(guān)系列方程求解X，從而可以求出任意時間的草的總量，也可以求出每頭牛單位時間吃草數(shù)量。從而針對題目問題設(shè)未知數(shù)為Y進行求解。

下面結(jié)合幾個例題進行分析：

例題1：一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃幾周？

解：第一步：設(shè)牧場原有草量為1，每周新長草X；

第二步：列表格如下：

第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：

(1-5X)/20*5 = (1-6X)/16*6                  (1)

(1-5X)/20*5 = (1-YX)/11Y                   (2)

由（1）得到X=1/30，

代入（2）得到Y(jié)=8（天）

"牛吃草"問題常常以進排水或排隊等其他的形式出現(xiàn)在考試中，這種問題也可通過方程思想迎刃而解。

例題3：有一水池，池底有泉水不斷涌出。要想把水池的水抽干， 10臺抽水機需抽 8時，8臺抽水機需抽12時。如果用6臺抽水機，那么需抽多少小時？

解：第一步：設(shè)水池原有水量為1，每小時泉水涌出X；

第二步：列表格如下：

第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：

(1+90X)/110*90 = (1+210X)/90*210            (1)

(1+90X)/110*90 = X/Y                        (2)

由（1）得到 X=1/42

代入（2）得到 Y=75（億人）

例題5：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，若同時開5個檢票口則需30分鐘，若同時開6個檢票口則需20分鐘。如果要使隊伍 10分鐘消失，那么需同時開幾個檢票口？

解：第一步：設(shè)開始檢票之前人數(shù)為1，每分鐘來人X；

第二步：列表格如下：

第三步：根據(jù)表格第四行彼此相等列出方程：

(1+30X)/5*30 = (1+20X)/6*20                  (1)

(1+30X)/5*30 = (1+10X)/10Y                   (2)

由（1）得到X=1/20，

代入（2）得到Y(jié)=9（個）

三  計算機程序算法的初探

根據(jù)以上對"牛吃草"問題的分析，我們知道由于解題格式固定，此類問題完全可以編制計算機程序輸入計算機之中，對更復(fù)雜的該類題目用計算機求解。由于我希望得到此類問題的通用解法，所以我只列出計算機程序的算法，具體可以用各類編程語言加以實現(xiàn)

1 判斷草均勻成長還是均勻減少；

2 定義三個變量保存已知的牛的數(shù)量A,B,C；

3 再定義兩個變量保存相應(yīng)的牛吃草的天數(shù)D,E,F；

4 定義吃草函數(shù)的函數(shù)體：f(x)=1+Mx(均勻增長時候)，f(x)=1-Mx(均勻減少時候)；并將天數(shù)變量傳參；

5 根據(jù)表格算法求出對應(yīng)的天數(shù)。

四、結(jié)論

通過五個例題的演示，我們可以得出解決類似"牛吃草"問題的通用解法，即首先設(shè)定單位時間的變化量及原有總量，其次通過表格形式表達出單位時間內(nèi)"單位牛的吃草量"，最后列出方程求解答案。這種方法對任何該類題型都適用，而且思路清晰，步驟明確，不易出錯。