高一數(shù)學必修五：不等式，別怕，它只是個“大小比較器”

【來源：易教網(wǎng) 更新時間：2025-11-17】

你有沒有發(fā)現(xiàn)，數(shù)學里最讓人頭疼的，往往不是計算有多復雜，而是概念太抽象？比如不等式，一聽名字，好像就要跟“大于”“小于”較勁，心里先打退堂鼓。其實，不等式?jīng)]那么神秘，它就是生活里天天在用的“誰多誰少”——你比他多花了五塊錢，你家的水費比上個月漲了，你考試分數(shù)比上次高了十來分——這些，都是不等式。

高中數(shù)學必修五第一章，講的就是不等式。別被課本上一堆符號嚇住，我們把它拆開，從你熟悉的生活場景說起。

一、不等式是什么？就是“不是一樣多”

課本說：“用符號 >、<、≥、≤、≠ 連接兩個數(shù)或代數(shù)式，叫做不等式。”聽起來像定義，其實是廢話。真正重要的是：不等式不是要你算出精確值，而是告訴你，兩個東西，誰大誰小，或者可能大可能小。

比如你媽媽說：“你這周零花錢不能超過50塊。”這句話，就是個不等式：x ≤ 50。它沒說你拿48塊還是45塊，但它劃了條線，告訴你邊界在哪。這就是不等式的實際意義——劃定范圍，而不是鎖定答案。

再比如，你和同學比誰跑得快，你說：“我每次比他快兩秒以上。”這句話，就是個不等關系：你的用時 < 他的用時 - 2。不需要知道具體時間，就能判斷你贏了。

所以，別把不等式當成新知識去背，它只是你從小到大都在用的“比較思維”，數(shù)學給它起了個正式名字。

二、怎么比大小？別急著算，先做差

課本講了：比較兩個實數(shù) a 和 b 的大小，看 a - b 的結果。a - b > 0，說明 a > b；a - b = 0，說明相等；a - b < 0，說明 a < b。

這方法聽起來簡單，但很多學生一遇到字母表達式就懵了。比如：已知 a > b，問 a 和 b 誰大？很多人直接說“a大，平方當然也大”，結果錯了——如果 a = -1，b = -3，a > b，但 a = 1，b = 9，反而 b 更大。

這時候，別靠直覺，老老實實做差：a - b = (a - b)(a + b)。既然 a > b，那么 a - b > 0，但 a + b 可能正、可能負，結果就不確定了。

關鍵不是記住結論，而是學會“做差”這個動作。

你遇到任何兩個代數(shù)式比較大小，別慌，先寫：A - B，然后試著因式分解，或者配方。比如比較 x + 3x + 5 和 2x + 4，別代數(shù)字試，直接算：

(x + 3x + 5) - (2x + 4) = x + x + 1

現(xiàn)在看這個式子：x + x + 1。你能判斷它恒大于0嗎？可以。因為判別式 Δ = 1 - 4×1×1 = -3 < 0，開口向上，所以整個式子永遠在x軸上方。所以，x + 3x + 5 > 2x + 4 對所有實數(shù)x都成立。

這就是“作差法”的威力——把模糊的“誰大誰小”，變成清晰的“差值正負”。

三、不等式的性質(zhì)，不是新規(guī)則，是常識的升級版

課本列了六條性質(zhì)：對稱性、傳遞性、可加性、可乘性、可乘方、可開方。看起來像一堆條文，其實每一條，都是你小學就懂的邏輯，只是現(xiàn)在用數(shù)學語言重新包裝。

- 對稱性：a > b，那就說明 b < a。這不就是“你比我高，那我就比你矮”？

- 傳遞性：a > b，b > c，那 a > c。這就像你比你哥高，你哥比你弟高，你自然比你弟高。

- 可加性：a > b，那 a + 5 > b + 5。兩邊同時加東西，關系不變。你和朋友都漲了100塊工資，你本來比他多，現(xiàn)在還是多。

- 可乘性：a > b，c > 0，那 ac > bc。正數(shù)乘，大小不變。但如果 c < 0，比如你欠了100塊，別人欠你200塊，現(xiàn)在每人債務翻倍，你欠200，他欠400，你反而“更少欠”了，也就是 ac < bc。乘負數(shù)，不等號要翻轉(zhuǎn)。

這是唯一容易錯的地方，但只要記住：“負數(shù)會讓順序倒過來”，就不會錯。

至于可乘方、可開方，前提是“都是正數(shù)”。比如 a > b > 0，n 是正整數(shù)，那 a > b，√a > √b。為什么？因為正數(shù)的冪和根號，都是“單調(diào)遞增”的函數(shù)。負數(shù)不行，0也不行，別亂用。

四、待定系數(shù)法？其實是“拼圖游戲”

課本提到“待定系數(shù)法”求代數(shù)式的范圍，聽起來很高大上。其實，它就是你小時候玩的“用幾個積木拼出一個圖形”。

比如：已知 -1 < a < 2，1 < b < 3，求 2a - b 的取值范圍。

你不能直接拿 -1 和 2 去算 2×(-1) - 3 = -5，2×2 - 1 = 3，然后說范圍是 -5 到 3。錯！因為 a 和 b 是同時變化的，不是獨立取極值。

正確做法：設 2a - b = m(a) + n(b)，但我們已經(jīng)知道它就是 2a - b，所以直接用范圍推。

a ∈ (-1, 2)，所以 2a ∈ (-2, 4)

b ∈ (1, 3)，所以 -b ∈ (-3, -1)

現(xiàn)在，2a - b = 2a + (-b)，兩個區(qū)間相加：(-2, 4) + (-3, -1) = (-5, 3)

所以，2a - b ∈ (-5, 3)

這就是待定系數(shù)法的本質(zhì)：把目標表達式拆成已知量的線性組合，再分別處理范圍，最后合并。

別怕它叫“待定系數(shù)”，它就是個加減法的區(qū)間運算。

五、別迷信公式，要理解邏輯

很多人學不等式，拼命記性質(zhì)，背口訣：“同向可加，正可乘，負要翻”。但考試一變題，就亂套。

真正的關鍵，是理解：不等式是關系，不是等式。它不追求精確值，只關心趨勢和邊界。

你做題時，遇到復雜表達式，先問自己：

- 我能不能用“作差”？

- 能不能拆成已知范圍的組合？

- 有沒有負數(shù)？有沒有零？

- 乘法會不會讓方向反轉(zhuǎn)？

這些，比背十條性質(zhì)都重要。

高一的不等式，不是為了讓你解出“x=5”這種答案，而是讓你學會：

在不確定的世界里，如何用數(shù)學語言，說清楚“大概在什么范圍”“誰更可能大”“什么時候會出問題”。

這，才是未來學概率、學統(tǒng)計、學優(yōu)化、甚至做投資理財時，真正需要的能力。

別把它當成考試的絆腳石，把它當成你理解世界的工具。

你不需要記住所有符號，你只需要記住：

比較，是人的本能；數(shù)學，只是幫你說得更清楚。