高中數學的核心知識點有哪些？

性質：包括單調性、奇偶性、周期性等，如一次函數 \(y = kx + b\)（\(k>0\) 時在定義域上單調遞增，\(k<0\) 時單調遞減）、反比例函數 \(y = \frac{k}{x}\)（當 \(k>0\) 時，在 \((-\infty,0)\) 和 \((0,+\infty)\) 上分別單調遞減；

當 \(k<0\) 時，在 \((-\infty,0)\) 和 \((0,+\infty)\) 上分別單調遞增）等。

圖像：通過描點法或根據函數的性質可以繪制函數的圖像，直觀地展示函數的變化趨勢和特征，幫助理解函數的性質和解決相關問題。

通項公式：如果數列 \(\{a_n\}\) 的第 \(n\) 項 \(a_n\) 與 \(n\) 之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式，如等差數列的通項公式 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\) 和等比數列的通項公式 \(a_n = a_1q^{n - 1}\)。

求和方法：有公式法、裂項相消法、錯位相減法等，等差數列的前 \(n\) 項和公式 \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\)，等比數列的前 \(n\) 項和公式 \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1 - a_1q^n}{1 - q}\)（\(q≠1\)）。

定義：以直角三角形的邊長關系為基礎，擴展到單位圓上的定義，如正弦函數 \(\sin\alpha = \frac{y}{r}\)，余弦函數 \(\cos\alpha = \frac{x}{r}\)，正切函數 \(\tan\alpha = \frac{y}{x}\)（\(x\)、\(y\) 為角 \(\alpha\) 終邊上的點的坐標，\(r=\sqrt{x^2 + y^2}\) 為半徑）。

性質：包括周期性、奇偶性、單調性、最值等，如正弦函數和余弦函數的最小正周期為 \(2\pi\)，正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數，在 \([0,\frac{\pi}{2}]\) 上單調遞增，在 \([\frac{\pi}{2},\pi]\) 上單調遞減等。

圖像：正弦函數 \(y = \sin x\) 的圖像是一條波浪形曲線，余弦函數 \(y = \cos x\) 的圖像與正弦函數的圖像形狀相同，只是位置不同，它們之間可以通過平移相互轉換。

空間幾何體的結構特征：認識棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等簡單幾何體的結構特征，如棱柱的上下底面平行且全等，側棱平行且相等；棱錐有一個底面，頂點與底面各頂點的連線稱為側棱等。

表面積和體積：掌握空間幾何體的表面積和體積的計算方法，如棱柱的表面積等于側面積加上兩個底面的面積，體積等于底面積乘以高；球的表面積公式 \(S = 4\pi R^2\)，體積公式 \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\) 等。

空間點、線、面的位置關系：包括平行、垂直的判定和性質定理，如線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；面面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面等。

平面直角坐標系：通過建立平面直角坐標系，將點用坐標表示，進而研究曲線的方程和性質，如圓的標準方程 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)，橢圓的標準方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a>b>0\)）等。

直線與圓、圓錐曲線的位置關系：研究直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的相交、相切、相離等位置關系，以及相關的弦長、中點等問題，如直線與圓相交時，可通過圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷位置關系，并利用垂徑定理求弦長。

圓錐曲線的性質和應用：圓錐曲線具有很多重要的性質，如橢圓的離心率 \(e = \frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)），雙曲線的離心率 \(e = \frac{c}{a}\)（\(e>1\)），拋物線的離心率 \(e = 1\)；

橢圓的準線方程等，這些性質在解決實際問題中有廣泛應用，如衛星軌道、光學反射等方面。

導數的概念：導數是研究函數變化率的數學工具，它反映了函數在某一點處的瞬時變化率，函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0\) 處的導數 \(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)。

導數的運算：掌握基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，能夠對常見函數進行求導運算，如 \((x^n)' = nx^{n - 1}\)，\((\sin x)' = \cos x\)，\((\ln x)' = \frac{1}{x}\) 等。

導數的應用：利用導數研究函數的單調性、極值和最值等，如當 \(f'(x)>0\) 時，函數 \(f(x)\) 在該區間上單調遞增；當 \(f'(x)<0\) 時，函數 \(f(x)\) 在該區間上單調遞減；

函數的極值點可以通過令 \(f'(x)=0\) 求得，并通過判斷導數在該點兩側的符號確定是極大值還是極小值。

概率：研究隨機事件發生的可能性大小，包括古典概型、幾何概型等，古典概型是指在試驗中所有可能出現的基本事件是有限的，而且每個基本事件出現的可能性相等，其概率計算公式為 \(P(A) = \frac{m}{n}\)（\(m\) 為事件 \(A\) 包含的基本事件的個數，\(n\) 為試驗的所有基本事件的總數）；

幾何概型是指在試驗中所有可能出現的結果有無限多個，且每個結果出現的可能性相等，其概率計算公式為 \(P(A) = \frac{\text{構成事件 } A \text{ 的區域長度（或面積、體積等）}}{\text{試驗的全部結果所構成的區域長度（或面積、體積等）}}\)。

統計：通過對數據的收集、整理、分析，了解數據的分布特征和規律，包括用樣本估計總體，如用樣本的頻率分布直方圖估計總體的概率密度函數，用樣本的平均數估計總體的均值，用樣本的方差估計總體的方差等；還有線性回歸分析，用于研究兩個變量之間的線性相關關系，建立回歸方程進行預測和分析。