高中數學核心內容清單：背什么、怎么用

【來源：易教網 更新時間：2025-11-03】

高中數學不是靠死記硬背拿分的科目，但有些內容，你必須熟到脫口而出。不是為了應付考試，而是為了在解題時省下時間，把腦力留給真正的思考。以下這些內容，是真正值得你背下來的。

1. 函數與導數：基礎中的基礎

函數的定義域，不是靠猜。分母不能為零，根號內要≥0，對數真數必須>0，這些是鐵律。你得一眼看出：

- \( y = \frac{1}{x-2} \) 的定義域是 \( x \neq 2 \)

- \( y = \sqrt{4 - x^2} \) 的定義域是 \( -2 \leq x \leq 2 \)

基本初等函數的圖像和性質，必須閉眼能畫。

指數函數 \( y = a^x \)：當 \( a > 1 \) 時遞增，\( 0 < a < 1 \) 時遞減，恒過點 (0,1)。

對數函數 \( y = \log_a x \)：與指數函數互為反函數，定義域 \( x > 0 \)，過點 (1,0)。

三角函數：正弦、余弦的周期是 \( 2\pi \)，正切是 \( \pi \)。記住 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)，這是萬能鑰匙。

導數公式，背熟這6個：

- \( (x^n)' = nx^{n-1} \)

- \( (\sin x)' = \cos x \)

- \( (\cos x)' = -\sin x \)

- \( (e^x)' = e^x \)

- \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)

- \( (a^x)' = a^x \ln a \)

導數的應用，就三件事：求切線、找極值、判斷單調。

切線方程：\( y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \)

極值點：先令導數為0，再看符號變化。別忘了檢查定義域端點。

2. 數列：公式就是命根子

等差數列：

通項：\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

前n項和：\( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \) 或 \( S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d \)

等比數列：

通項：\( a_n = a_1 q^{n-1} \)

前n項和：\( S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \)（\( q \neq 1 \)）

數學歸納法，別怕。兩步走：

第一步，驗證 \( n=1 \) 成立。

第二步，假設 \( n=k \) 成立，證 \( n=k+1 \) 也成立。

別寫“顯然”，要寫清楚每一步推導。

3. 不等式：別被形式嚇住

一元二次不等式，先看判別式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。

若 \( \Delta > 0 \)，兩根之間或之外；

若 \( \Delta = 0 \)，解集是除根外全體實數或空集；

若 \( \Delta < 0 \)，看開口方向，恒大于0或恒小于0。

絕對值不等式：

\( |x| < a \Rightarrow -a < x < a \)（\( a > 0 \)） \( |x| > a \Rightarrow x < -a \) 或 \( x > a \)

線性規劃，畫圖是關鍵。

目標函數 \( z = ax + by \)，平移直線找最值點。

最值一定在可行域的頂點上，別在中間瞎猜。

4. 解析幾何：公式+圖像，缺一不可

直線方程：

點斜式：\( y - y_0 = k(x - x_0) \)

一般式：\( Ax + By + C = 0 \)

圓的標準方程：\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \)

圓心 \( (a,b) \)，半徑 \( r \)

橢圓：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，焦點在x軸，\( c^2 = a^2 - b^2 \)

雙曲線：\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，\( c^2 = a^2 + b^2 \)

拋物線：\( y^2 = 2px \)，焦點 \( (\frac{p}{2}, 0) \)

空間向量：

點積：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \)

模長：\( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \)

立體幾何體積：

棱柱：\( V = S_{底} \cdot h \)

棱錐：\( V = \frac{1}{3} S_{底} \cdot h \)

球：\( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \)，表面積 \( S = 4\pi R^2 \)

5. 概率與統計：別被術語繞暈

概率基本公式：

互斥事件：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

獨立事件：\( P(AB) = P(A)P(B) \)

條件概率：\( P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \)

離散型隨機變量：分布列要列全，概率和必須為1。

期望：\( E(X) = \sum x_i p_i \)

方差：\( D(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i \)

樣本均值：\( \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \)

樣本方差：\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 \)

6. 復數與向量：運算規則要清晰

復數 \( z = a + bi \)，模 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

乘法：\( (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)

除法：分子分母同乘共軛

向量加減：坐標對應加減

點積：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \)

夾角余弦：\( \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)

7. 集合與邏輯：語言要準

集合運算：

交集：\( A \cap B \) —— 同時屬于A和B

并集：\( A \cup B \) —— 屬于A或B

補集：\( \complement_U A \) —— 全集U中不屬于A的部分

命題：

原命題：若p，則q

逆命題：若q，則p

否命題：若非p，則非q

逆否命題：若非q，則非p

原命題與逆否命題等價，這是唯一能直接互推的。

8. 算法與推理：流程圖不是裝飾

算法步驟要清晰：輸入 → 處理 → 輸出

流程圖：菱形是判斷，矩形是執行，箭頭是流向

推理：直接證法從已知推結論；反證法假設結論不成立，推出矛盾。

9. 最后一課：別背題，背思路

不要背“這道題怎么解”，要背“這類題怎么想”。

遇到函數題，先看定義域，再看單調性，再看導數。

遇到數列題，先判斷類型，再套公式，再驗證。

遇到幾何題，先畫圖，標條件，再找關系。

你背的不是答案，是解題的啟動鍵。

每天花15分鐘，默寫一次公式、畫一次圖像、寫一遍步驟。

三個月后，你看到題，手會先動，腦子才跟上。

這不是捷徑，是效率。

你省下的每一分時間，都是用來思考難題的資本。