高中數(shù)學(xué)中常見的反函數(shù)有哪些？

舉個(gè)栗子啊，小明每天早上7點(diǎn)出門，騎共享單車到學(xué)校剛好用15分鐘，這個(gè)過(guò)程中，時(shí)間（x）和路程（y）之間是不是有個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系？要是反過(guò)來(lái)，我們想通過(guò)已知路程推算時(shí)間，這時(shí)候就需要反函數(shù)登場(chǎng)了！

重點(diǎn)來(lái)了：原函數(shù)是y=2x+3的話，它的反函數(shù)就是把x和y的位置調(diào)換后解出來(lái)的新函數(shù)，具體操作分三步走：

（圖片來(lái)源網(wǎng)絡(luò)，侵刪）

1、把y=2x+3寫成x=(y-3)/2

2、交換x和y位置變成y=(x-3)/2

3、新函數(shù)記作f(x)=(x-3)/2

這時(shí)候可能有同學(xué)要問(wèn)：那所有函數(shù)都有反函數(shù)嗎？哎這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得好！咱們往下看...

想象你站在自動(dòng)售貨機(jī)前，按A1鍵掉下來(lái)可樂(lè)，按B2鍵掉下來(lái)薯片，要是反過(guò)來(lái)，想要通過(guò)掉下來(lái)的商品知道按了哪個(gè)鍵，必須保證每個(gè)商品對(duì)應(yīng)唯一按鍵對(duì)吧？數(shù)學(xué)上把這個(gè)特性叫做一一對(duì)應(yīng)。

判斷函數(shù)是否有反函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)：

必須是一一對(duì)應(yīng)的（專業(yè)點(diǎn)說(shuō)叫雙射函數(shù)）

通過(guò)水平線測(cè)試：任何水平直線最多和圖像相交一次

像拋物線y=x這種，一個(gè)y值對(duì)應(yīng)兩個(gè)x值的就不行

周期函數(shù)比如正弦函數(shù)也夠嗆，除非限定范圍

（突然想到）去年有個(gè)學(xué)生問(wèn)我："老師，那指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是不是天生一對(duì)？"這問(wèn)題太有靈性了！確實(shí)，y=10^x和y=lg x就是經(jīng)典的反函數(shù)搭檔。

還記得小時(shí)候玩的藏寶游戲嗎？找反函數(shù)的過(guò)程就像在解數(shù)學(xué)謎題，咱們以y=(x+1)/(x-2)這個(gè)有點(diǎn)復(fù)雜的函數(shù)為例：

1、先寫等式x=(y+1)/(y-2)

2、兩邊同乘(y-2)：x(y-2)=y+1

3、展開：xy-2x=y+1

4、把含y的項(xiàng)集中：xy-y=2x+1

5、提取y：y(x-1)=2x+1

6、最終得：y=(2x+1)/(x-1)

（敲黑板）這里有個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)！很多同學(xué)在第4步容易丟項(xiàng)，千萬(wàn)記得移項(xiàng)要變號(hào)，對(duì)了，求完反函數(shù)記得驗(yàn)證一下，把原函數(shù)和反函數(shù)復(fù)合運(yùn)算看看是不是等于x。

去年幫鄰居張大爺修收音機(jī)時(shí)就遇到過(guò)這種情況，他那個(gè)老式收音機(jī)的頻率刻度盤壞了，但我們可以通過(guò)接收到的電臺(tái)頻率倒推出刻度盤位置，這就是反函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用啊！

現(xiàn)實(shí)中的反函數(shù)應(yīng)用場(chǎng)景：

- 密碼學(xué)中的加密解密算法（比如RSA算法）

- GPS定位時(shí)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

- 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的供需關(guān)系分析

- 甚至你手機(jī)里的美顏濾鏡，很多圖像處理算法都用得到

有個(gè)冷知識(shí)：現(xiàn)在最火的區(qū)塊鏈技術(shù)，其核心的哈希函數(shù)雖然不可逆，但設(shè)計(jì)時(shí)反而要故意破壞反函數(shù)存在的條件，這樣才安全，你看，反函數(shù)的知識(shí)還能用在防止信息泄露上呢！

教了這么多年數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)卡在反函數(shù)這個(gè)點(diǎn)，其實(shí)是因?yàn)闆](méi)想明白"為什么要反過(guò)來(lái)"，我的建議是：下次遇到反函數(shù)問(wèn)題，先別急著計(jì)算，停下來(lái)畫個(gè)圖，把原函數(shù)和反函數(shù)圖像對(duì)比看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們關(guān)于y=x直線對(duì)稱這個(gè)特性特別直觀，理解了這個(gè)對(duì)稱性，很多問(wèn)題就迎刃而解了。

對(duì)了，最近有個(gè)學(xué)生發(fā)明了"鏡子學(xué)習(xí)法"——把函數(shù)圖像打印出來(lái)對(duì)著鏡子看，鏡子里就是反函數(shù)圖像，雖然聽起來(lái)有點(diǎn)搞笑，但確實(shí)幫助他記住了這個(gè)重要特性，你看，學(xué)數(shù)學(xué)也可以很有趣對(duì)吧？

（突然想起）剛開始接觸反函數(shù)時(shí)，我也總覺(jué)得"反過(guò)來(lái)"這事特別抽象，直到有次在游樂(lè)場(chǎng)坐過(guò)山車，看著軌道上下翻轉(zhuǎn)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，突然就開竅了，所以啊，生活中處處都是數(shù)學(xué)的靈感，關(guān)鍵是要保持好奇心，下次你去便利店買飲料，不妨想想價(jià)格和數(shù)量的關(guān)系，試試能不能在腦子里構(gòu)建個(gè)反函數(shù)模型？